\section{矩阵的运算与行列式、秩}
\begin{frame}{矩阵的运算与行列式}
在这一节我们来看一下矩阵运算下行列式与秩的行为。

\pause
先看线性运算和转置下的行列式。我们不打算探讨$|A+B|$的行列式（容易发现仅用$|A|$和$|B|$表示不出来%
\footnote{可写$A+B=\begin{pmatrix}
    A & E
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
    E \\ B
\end{pmatrix}$然后应用Cauthy-Binet公式得到用$A, B$的子式表示出$|A+B|$的公式。\\}）。
\pause
看数乘。
若$A$为$n$阶矩阵，$k\in P$, 由行列式的性质易知
\[
  |kA|=k^n |A|.
\]
\pause
另外，我们知道转置不改变行列式，即
\[
  |A^{\rT}| = |A|.
\]

\vspace*{-1em}
\pause
\begin{example}%例2 
  $A=(a_{ij})\in P^{n\times n}$称为\emph{反称矩阵}或\emph{斜称矩阵}，若$A$满足$A^{\rT}=-A$, 或者说，
它的元素满足
\begin{equation*}
  a_{i j}=-a_{j i}, \quad i, j=1,2, \cdots, n.
\end{equation*}
特别地，$a_{ii}=0$. 
\pause
这样$|A|$满足
\[
  |A| =|A^{\rT}|= |-A|=(-1)^n |A|.
\]
\pause
若$n$为奇数，则$|A|=0$. 也就是说，奇数阶反称矩阵的行列式等于 $0$.
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
关于乘积的行列式有



\begin{theorem}%定理1 
  \label{10B}
  令 $ A,  B\in P^{n\times n}$, 那么
  \begin{equation*}
  |A B|=|A||B|, \tag{1}
\end{equation*}
即方阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积。
\end{theorem}
\pause
\begin{example}
   设$A=\begin{pmatrix}
     A_1 & A_2 & A_3 & A_4
   \end{pmatrix}$为$4$阶矩阵，其中$A_i$为$A$的第$i$列，且其行列式为$|A|=3$. 令
   \(
     B = \begin{pmatrix}
     -A_1-2A_3 & -A_3  & 2A_2-A_4 & A_4+3A_1
   \end{pmatrix}.
 \)
 那么行列式$|B|=?$
 \end{example}
\pause
 \begin{solution}
我们有
   $B=AC$, 其中
   \[
     C=\begin{pmatrix}
       -1 & 0 & 0 & 3\\
       0 & 0 & 2 & 0 \\
       -2 & -1 & 0 & 0 \\
       0 &  0 & -1 & 1
     \end{pmatrix}.
   \]
   易算得$|C|=-2$,  故由行列式与矩阵乘法的相容性知$|B|=|A||C|=3\times (-2)=-6$. 
\end{solution}

\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{remark}
    若$A\in P^{n\times s}, B\in P^{s\times n}$, 则$AB$是$n$阶方阵，可否表示出$AB$的行列式呢？
    可以，有所谓的Cauthy-Binet公式，把$AB$的行列式表示为$A, B$的一些子式的乘积的和。
    参见~\cite{ZX98}.
\end{remark}

  \pause
  用数学归纳法， 定理~\ref{10B}~不难推广到多个因子的情形，即有

  \begin{corollary}%推论1 
  设 $ A_{1},  A_{2}, \cdots,  A_{m}$ 都是数域 $P$ 上的 $n \times n$ 矩阵， 于是
\[
  \left| A_{1}  A_{2} \cdots  A_{m}\right|=\left| A_{1}\right|\left| A_{2}\right| \cdots\left|A_{m}\right|.
\]
\end{corollary}

\pause
\begin{definition}%定义6 
  数域 $P$ 上的 $n \times n$ 矩阵 $ A$ 称为\emph{非退化的}或\emph{非奇异的}， 如果 $| A| \neq 0$; 否则称为\emph{退化的}或\emph{奇异的}。
\end{definition}
\pause
显然， \emph{一 $n \times n$ 矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于 $n$.}

\pause
从定理~\ref{10B}, 立刻推出


\begin{corollary}%推论2 
设 $ A,  B$ 是数域 $P$ 上 $n \times n$ 矩阵， 矩阵 $ A B$ 为退化的充分必要条件是 $ A,  B$ 中至少有一个是退化的。 
\end{corollary}

\end{frame}


\begin{frame}
  我们来证明$|AB|=|A||B|$.  此证明用到在行列式一章中刻画行列式时证明的如下结论：
  \begin{theorem*}
    设$d\colon M_n(P)\rightarrow P$满足：

    (1) $d$对行有多线性性（即对各行具有线性性）；

    (2) $d$对行具有交错性（即有相邻两行相同的方阵的行列式为$0$）. 

    那么$d=d(E)\det$; 
    特别地，若$d$还满足规范性 (即$d(E)=1$), 则$d=\det$.
  \end{theorem*}
  \pause
  \begin{proof*}[定理~\ref{10B}~的证明]
  定义函数
  \[
    d_B\colon P^{n\times n}\rightarrow P, \quad A\mapsto \det AB.
  \]
  我们来验证$d_B$对方阵的行有多线性和交错性：
  \begin{align*}
    d_B
    \begin{pmatrix}
      \alpha_1\\
      \vdots \\
      \alpha_i\\
      \vdots \\
      \alpha_i\\
      \vdots\\
      \alpha_n
    \end{pmatrix} &=  \det     \begin{pmatrix}
      \alpha_1\\
      \vdots \\
      \alpha_i\\
      \vdots \\
      \alpha_i\\
      \vdots\\
      \alpha_n
    \end{pmatrix}B
    =
    \det \begin{pmatrix}
      \alpha_1B\\
      \vdots \\
      \alpha_iB\\
      \vdots \\
      \alpha_iB\\
      \vdots\\
      \alpha_nB
    \end{pmatrix}=0,\quad(\text{交错性})
  \end{align*}
\end{proof*}
\end{frame}
\begin{frame}


  \begin{proof*}[定理~\ref{10B}~的证明 (续)]
    {\small
  \begin{align*}
    d_B
    \begin{pmatrix}
      \alpha_1\\
      \vdots \\
      a\alpha_i +a'\alpha_i'\\
      \vdots \\
      \alpha_n
    \end{pmatrix}&=  \det 
    \left( 
     \begin{pmatrix}
      \alpha_1\\
      \vdots \\
      a\alpha_i +a'\alpha_i'\\
      \vdots \\
      \alpha_n
    \end{pmatrix}B
  \right)= \det \begin{pmatrix}
    \alpha_1B\\
       \vdots \\
       (a\alpha_i +a'\alpha_i')B\\
      \vdots \\
      \alpha_nB
  \end{pmatrix} \\
  &=  \det \begin{pmatrix}
    \alpha_1B\\
       \vdots \\
       a\alpha_iB +a'\alpha_i'B\\
      \vdots \\
      \alpha_nB
  \end{pmatrix} 
  = a \det \begin{pmatrix}
    \alpha_1B\\
       \vdots \\
       \alpha_iB\\
      \vdots \\
      \alpha_nB
  \end{pmatrix} + a' \det \begin{pmatrix}
    \alpha_1B\\
       \vdots \\
       \alpha_i'B\\
      \vdots \\
      \alpha_nB
  \end{pmatrix} \\ 
  &= ad_B    \begin{pmatrix}
      \alpha_1\\
      \vdots \\
      \alpha_i\\
      \vdots \\
      \alpha_n
    \end{pmatrix} + a' d_B     \begin{pmatrix}
      \alpha_1\\
      \vdots \\
      \alpha_i'\\
      \vdots \\
      \alpha_n
    \end{pmatrix},\quad (\text{多线性性})
\end{align*}}
  其中$a, a'\in P$, $\alpha_j, \alpha_i'\in P^{n}$. 
  因此由上述定理可知
  \[
    \det AB= d_B(A)=d_B(E) \det A=\det B\det A.
  \]
\end{proof*}
\end{frame}
\begin{frame}{矩阵的运算与秩}

根据矩阵加法、数乘、转置的定义，应用关于向量组的秩的定义与性质， 很容易看出
\begin{theorem}
  \vspace{-1em}
  \begin{align*}
    |\rank A -\rank B| \leqslant \rank  ( A &+ B) \leqslant \rank( A)+\rank( B), \tag{3}\\
    \rank (k A)&= \rank A\quad (k\neq 0), \tag{4}\\
    \rank (A^{\rT}) &=  \rank A.  \tag{5}
\end{align*}
\end{theorem}


\begin{proof}
  我们只说明 (3). 显然 $A+B$ 的行向量组可由 $A, B$的行向量组合并得到的向量组线性表出，
  因此 
  \(
    \rank (A+B) =\rank_r(A+B)\leqslant \rank_r A+\rank_r B=\rank A+\rank B.
  \)
  类似地，$A$ (转：$B$) 的行向量组可由 
  $A+B, B$ (转：$A+B, A$) 的行向量组合并得到的向量组线性表出，
  从而 $\rank A\leqslant \rank (A+B)+\rank B$ (转：
  $\rank B\leqslant \rank (A+B)+\rank A$), 因此 
  $|\rank A -\rank B| \leqslant \rank( A+ B)$.
\end{proof}
\pause

关于矩阵乘积的秩，我们有



\begin{theorem}[乘积的秩不超过各因子的秩]%定理2 
  \label{119}
设 $ A$ 是数域 $P$ 上 $n \times m$ 矩阵， $ B$ 是数域 $P$ 上$m \times s$ 矩阵，那么
\begin{equation*}
  \rank (A B) \leqslant \min \{\rank (A), \rank(B)\}. \tag{2}
\end{equation*}
\end{theorem}

\end{frame}
\begin{frame}
用数学归纳法， 定理~\ref{119}~可推广到多个因子的情形：

\begin{corollary}%推论 
如果 $A=A_{1} A_{2} \cdots A_{t}$, 那么
\(
\rank ( A) \leqslant \min _{1 \leqslant j \leqslant t} \rank \left( A_{j}\right) .
\)
\end{corollary}


\begin{proof*}[定理~\ref{119}~的证明]
为了证明 (2), 只需要证明 $\rank (A B) \leqslant\rank (A)$, 同时 $\rank (A B) \leqslant\rank (B)$. 现在来
分别证明这两个不等式。
设$A=(a_{ij})_{n\times m}, B=(b_{ij})_{m\times s}$.
%\[
%   A=\left(\begin{array}{cccc}
%    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 m} \\
%  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 m} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n m}
%\end{array}\right), \quad  B=\left(\begin{array}{cccc}
%  b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 s} \\
%b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 s} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots \\
%b_{m 1} & b_{m 2} & \cdots & b_{m s}
%\end{array}\right) .
%\]
令 $ B_{1},  B_{2}, \cdots,  B_{m}$ 表示 $ B$ 的行向量， $ C_{1},  C_{2}, \cdots,  C_{n}$ 表示 $ A B$ 的行向量。 由计算可知， $ C_{i}$ 的第 $j$ 个分量和 $a_{i 1}  B_{1}+a_{i 2}  B_{2}+\cdots+a_{i m}  B_{m}$ 的第 $j$ 个分量都等于 $\sum_{k=1}^{m} a_{i k} b_{k j}$, 因而
\[
 C_{i}=a_{i 1}  B_{1}+a_{i 2}  B_{2}+\cdots+a_{i m}  B_{n}, \quad i=1,2, \cdots, n,
\]
即矩阵 $A B$ 的行向量组 $C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n}$ 可以经矩阵 $ B$ 的行向量组线性表出。 所以 $ A B$ 的秩不能超过 $ B$ 的秩 (参看第三章习题 12), 也就是说，
\[
\rank (A B) \leqslant \rank(B).
\]
\pause
同样，矩阵 $ A B$ 的列向量组可以经矩阵 $ A$ 的列向量组线性表出，因此 $\rank (AB)\leqslant \rank A$. 
\pause
此不等式也可如下证明：
\[
  \rank (AB)=\rank (AB)^{\rT} =\rank B^{\rT} A^{\rT} \leqslant \rank A^{\rT} = \rank A.
\]
%令 $ A_{1},  A_{2}, \cdots,  A_{m}$ 表示 $ A$ 的列向量， $ D_{1},  D_{2}, \cdots,  D_{s}$ 表示 $ A B$ 的列向量。 由计算可知，
%\[
% D_{i}=b_{1 i}  A_{1}+b_{2 i}  A_{2}+\cdots+b_{m i}  A_{m}, \quad i=1,2, \cdots, s .
%\]
%这个式子表明，矩阵 $ A B$ 的列向量组可以经矩阵 $ A$ 的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，
%\[
%\text { 秩 }( A B) \leqslant \text { 秩 }( A) .
%\]
\end{proof*}

\end{frame}


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 行列式在矩阵的数乘、转置、乘法下的行为如何？
    \item 何为非退化（非奇异）、退化（奇异）的方阵？乘积的奇异性如何用因子的奇异性刻画？
    \item 秩在矩阵的加法、数乘、转置、乘法下的行为如何？
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
